Компенсация сопротивления нагрузки в резистивном делителе

Компенсирующее сопротивление Rx рассчитывается по формуле:

R_x = \frac{R_1R_H}{R_2}

Компенсация нагрузки резистивного делителя

Для такого делителя работает обычная формула:

U_2 = U_1 \frac{R_2}{R_1 + R_2}

Без компенсирующего сопротивления делитель с нагрузкой рассчитывался бы по формуле:

U_2 = U_1 \frac{R_2 R_H}{R_2 R_H + R_1 R_H + R_1 R_2}

Пример

Если R1 = 1 кОм, R2 = 10 кОм и Rн = 100 кОм, то понадобится компенсирующее сопротивление Rx = 10 кОм. При этом, если все резисторы будут точностью 1%, то погрешность напряжения U2 будет ±0,18 %.

Реклама

Передаточная функция двух RC-цепей с нагрузкой

Две RC-цепи с нагрузкой

Передаточная функция данной цепи:

W(p) = \frac{U2}{U1} = \frac{k}{p^2 k C1 R1 C2 R2 + p k (R1(C1 + C2) + C2 R2 + \frac{C1 R1 R2}{R3}) + 1}

где

k = \frac{R3}{R1 + R2 + R3}

Эта функция является передаточной функцией апериодического звена второго порядка:

W(p) = \frac{k}{T_2^2p^2 + T_1p + 1}

где, для данной схемы:

k = \frac{R3}{R1 + R2 + R3}
T_1 = k(C1 R1 + C2 R1 + C2 R2 + \frac{C1 R1 R2}{R3})
T_2 = \sqrt{k C1 R1 C2 R2}

Альтернативный вид передаточной функции:

W(p) = \frac{k}{(1 + pT_3 )(1 + pT_4)}

где:

T_3 = \frac{T_1}{2} - \sqrt{\frac{T_1^2}{4} - T_2^2}

T_4 = \frac{T_1}{2} + \sqrt{\frac{T_1^2}{4} - T_2^2}

Амплитудная частотная характеристика:

A\left(\omega\right)={{k}\over{\sqrt{1+\omega^2\,{\it T_3}^2}\,\sqrt{1+\omega^2\,{\it T_4}^2}}}

Фазовая частотная характеристика:

\phi(\omega)=-arctg(\omega T_3)-arctg(\omega T_4)

где:

  • \omega=2 \pi f  — круговая частота, рад/с.
  • f — частота, Гц.

Код для использования в математической программе Maxima:

k: R3 / (R1 + R2 + R3) $
T1: k * (R1 * (C1 + C2) + C2 * R2 + C1 * R1 * R2 / R3) $
T2: sqrt(k * C1 * R1 * C2 * R2) $
W1: k / (p^2 * T2^2 + p * T1 + 1 ) $
T3: T1 / 2 - sqrt(T1^2 / 4 - T2^2) $
T4: T1 / 2 + sqrt(T1^2 / 4 - T2^2) $
W2: k / ((1 + p * T3) * (1 + p * T4)) $
A(w) := k / (sqrt(1 + w^2 * T3^2) * sqrt(1 + w^2 * T4^2)) $
ph(w) := -atan(w * T3) - atan(w * T4) $
w: 2 * %pi * f $

Емкостной делитель напряжения

Емкостной делитель напряжения — это делитель на конденсаторах. Для его расчета нельзя применить формулу, которая используется для расчета резистивного делителя.

Сравним резистивный и емкостной делители:
Делители напряжения

Формула для расчета резистивного делителя:

\frac{U_2}{U_1} = \frac{R_2}{R_1+R_2}

Формула для расчета емкостного делителя:

\frac{U_2}{U_1} = \frac{C_1}{C_1+C_2}

Отличие в индексе параметра, который расположен в числителе.

Чтобы показать, как получается формула для емкостного делителя можно воспользоваться операторным методом:

\frac{U_2}{U_1} = \frac{\frac{1}{pC_2}}{\frac{1}{pC_1}+\frac{1}{pC_2}} = \frac{1}{pC_2 (\frac{pC_2 + pC_1}{pC_1pC_2})}=\frac{pC_1pC_2}{pC_2(pC_2+pC_1)}

После сокращения p и С2 получим формулу.

Емкостной делитель с нагрузкой

Делители напряжения с нагрузкой

Передаточная функция емкостного делителя с нагрузкой:

\frac{U_2(p)}{U_1(p)} = \frac{pR_1C_1}{1+ pR_1(C_1+C_2)}

В теории автоматического управления такая передаточная функция соответствует дифференцирующему звену с замедлением.

Зависимость коэффициента усиления от частоты (амплитудно частотная характеристика):

A(f) = \frac{2\pi f R_1 C_1}{\sqrt{1 + (2 \pi f R_1 (C_1+C_2))^2}}