Вывод функций ЛАЧХ и ЛФЧХ в программе Maxima

Maxima — это консольная математическая программа для аналитических расчетов. Программа имеет версию с графическим интерфейсом, которая называется wxMaxima, ее можно бесплатно скачать с официального сайта.

Допустим имеется передаточная функция W(s) . Нужно получить две функций:

  • L(\omega) — ЛАЧХ (логарифмическая амплитудная частотная характеристика),
  • \Phi(\omega) — ЛФЧХ (логарифмическая фазовая частотная характеритиска),

где: \omega — угловая частота, рад/с.

Пример расчет ЛАЧХ и ЛФЧХ для передаточной функции апериодического звена второго порядка.


/* Передаточная функция */
W(s) := k/((1 + T[3]*s)*(1+T[4]*s)) $

/* Функция десятичного логарифма */
log10(x) := log(x) / log(10) $

print("ЛАЧХ") $
L(%omega) = 20 * log(cabs(W(%i*%omega)));

print("ЛФЧХ") $
%Phi(%omega) = carg(W(%i*%omega));

Вывод программ следующий.

ЛАЧХ

\mathrm{L}\left( \omega\right) =20\cdot \mathrm{log}\left( \frac{\left| k\right| }{\sqrt{{{T}_{3}^{2}}\cdot {{\omega}^{2}}+1}\cdot \sqrt{{{T}_{4}^{2}}\cdot {{\omega}^{2}}+1}}\right)

ЛФЧХ

\Phi\left(\omega\right) =-\mathrm{atan}\left( {{T}_{4}}\cdot \omega\right) -\mathrm{atan}\left( {{T}_{3}}\cdot \omega\right) +\mathrm{atan2}\left( 0,k\right)

В окне программы расчет выглядит следующим образом.

Вывод функций ЛАЧХ и ЛФЧХ в программе Maxima

Для тех, кто никогда не пользовался программой, объясню, что тут происходит. С помощью /* */ можно оставлять комментарии.

Сначала задается передаточная функция W(s) . Затем задается функция десятичного логарифма, потому что, к сожалению, она отсутствует в программе.

  • %i — мнимая единица.
  • %Phi — греческая буква \Phi
  • %omega — греческая буква \omega
  • функция cabs() возвращает модуль комплексного числа.
  • функция carg() возвращает аргумент комплексного числа.
Реклама

Частота среза и частота сопряжения

Частота среза — частота, на которой частотная характеристика пересекает 0 дБ.

Частота сопряжения — частота, на которой частотная характеристика меняет наклон.

%d1%87%d0%b0%d1%81%d1%82%d0%be%d1%82%d0%b0-%d1%81%d0%be%d0%bf%d1%80%d1%8f%d0%b6%d0%b5%d0%bd%d0%b8%d1%8f-%d0%b8-%d1%81%d1%80%d0%b5%d0%b7%d0%b0

Эти понятия относятся к теории автоматического управления. Частота среза используется при анализе устойчивости системы управления. Чтобы замкнутая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы фаза разомкнутой системы не достигала −180° на частоте среза.

Частота среза имеет другое определение в обработке сигналов. Там под частотой среза подразумевают частоту сопряжения, а понятием частота сопряжения не пользуются. В обработке сигналов нет необходимости анализировать устойчивость системы.

Понятия раскрываются в книге Бесекерского и Попова «Теория систем автоматического регулирования» 2003 года. Приведу пару цитат, где вводятся эти понятия.

Первая цитата со страницы 59:

Точку пересечения прямой с осью нуля децибел (осью частот) можно найти, положив L(ω)=0 или, соответственно, A(ω)=1. Отсюда получаем так называемую частоту среза л. а. х.,

При этом в книге частота среза обозначается как ωср.

На странице 66 описывается апериодическое звено первого порядка:

Наиболее просто, практически без вычислительной работы, строится так называемая асимптотическая л. а. х. На стандартной сетке проводится вертикальная прямая через точку с частотой, называемой сопрягающей частотой ω=1/T.

При чем эта «вертикальная прямая» проводится в точке изменения наклона частотной характеристики.

Скриншот этой страницы с полным описанием:

%d0%b1%d0%b5%d1%81%d0%b5%d0%ba%d0%b5%d1%80%d1%81%d0%ba%d0%b8%d0%b9-%d1%82%d0%b5%d0%be%d1%80%d0%b8%d1%8f-%d1%81%d0%b8%d1%81%d1%82%d0%b5%d0%bc-%d0%b0%d0%b2%d1%82%d0%be%d0%bc%d0%b0%d1%82%d0%b8%d1%87